Phương trình mặt cầu trong không gian

3. Bài tập về phương trình mặt cầu trong không gian

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu ((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0). Tính bán kính (R) của mặt cầu ((S)).

A. (R = 3)

B. (R = 9)

C. (R = sqrt 3 )

D. (R = 3sqrt 3 )

Lời giải: Phương trình có dạng ((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0) với (a = {rm{;}}1,b = - 2,c = - 1,d = {rm{;}} - 3).

Ta có công thức (R = sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} {rm{;}} = sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {1^2} - ( - 3)} {rm{;}} = 3) .

Chọn đáp án A.

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ tâm (I) và bán kính (R) của mặt cầu ({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20).

A. (Ileft( { - 1,2, - 4} right)) và (R = 5sqrt 2 )

B. (Ileft( { - 1,2, - 4} right)) và (R = 2sqrt 5 )

C. (Ileft( {1, - 2,4} right)) và (R = 20)

D. (Ileft( {1, - 2,4} right)) và (R = 2sqrt 5 )

Lời giải: Phương trình có dạng ({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}) với (a = 1,b = {rm{;}} - 2,c = 4) và (R = 2sqrt 5 ) có tâm (Ileft( {1; - 2;4} right)).

Chọn đáp án D.

Bài 3. Mặt cầu tâm (Ileft( {0;0;1} right)) bán kính (R = sqrt 2 ) có phương trình:

A. ({x^2} + {y^2} + {left( {z - 1} right)^2} = sqrt 2 )

B. ({x^2} + {y^2} + {left( {z + 1} right)^2} = sqrt 2 )

C. ({x^2} + {y^2} + {left( {z - 1} right)^2} = 2)

D. ({x^2} + {y^2} + {left( {z + 1} right)^2} = 2)

Lời giải: Mặt cầu tâm (Ileft( {0;0;1} right)) bán kính (R = sqrt 2 ) có phương trình ({x^2} + {y^2} + {left( {z - 1} right)^2} = {left( {sqrt 2 } right)^2} = 2).

Chọn đáp án C.

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập tất cả giá trị của tham số (m) để mặt cầu (left( S right)) có phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0) đi qua điểm (Aleft( {1;1;1} right)).

A. (emptyset )

B. (left{ { - frac{2}{3}} right})

C. (left{ 0 right})

D. (left{ {frac{1}{2}} right})

Lời giải: (left( S right)) có dạng ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0) với (a = 1,b = - m,c = 2) và (d = m + 5).

(left( S right)) là phương trình mặt cầu khi ta có ({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 Leftrightarrow 5 + {m^2} - (m + 5) > 0 Leftrightarrow {m^2} - m > 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}{m < 0}end{array}} right.)

Điểm (Aleft( {1,1,1} right)) thuộc phương trình mặt cầu (left( S right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0) thì ta có

({1^2} + {1^2} + {1^2} - 2.1 + 2m.1 - 4.1 + m + 5 = 0 Leftrightarrow 2 + 3m = 0 Leftrightarrow m = {rm{;}} - frac{2}{3}) (thỏa mãn).

Chọn đáp án B.

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của (m) để phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 4z + m = 0) là phương trình của một mặt cầu.

A. (m > 6)

B. (m ge 6)

C. (m le 6)

D. (m < 6)

Lời giải: (left( S right)) có dạng ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0) với (a = {rm{;}}1,b = {rm{;}}1,c = {rm{;}}2) và (d = m).

(left( S right)) là phương trình mặt cầu khi ta có ({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 Leftrightarrow 6 - m > 0 Leftrightarrow m < 6)

Chọn đáp án D.