Lượng giác 101 #1: Lý thuyết nhìn từ thực tiễn

Góc là một trong các thành phần cơ bản của hình học, tuy nhiên định lượng góc là một câu chuyện dài, nếu có thể hệ thống được thì câu chuyện đó bắt đầu từ 3000-4000 năm trước đây. Tuy nhiên những gì chúng ta đã, đang học tại trường không cho thấy được vẻ đẹp của lịch sử toán học. Trong chuỗi bài viết này, ZeFro muốn đồng hành cùng các bạn trong một hành trình nhìn lại những thành tựu của nhân loại trong lĩnh vực lượng giác, đồng thời những ứng dụng thực tế mà của lượng giác mà không phải ai cũng nhận ra. Đồng thời chúng ta cùng nhau phá đi định kiến: “Lượng giác KHÔNG thực tế”

Lưu ý: trong bài viết này sẽ đệm vào những thuật ngữ tiếng Anh bên cạnh những thuật tương ứng bằng tiếng Việt, và những chú thích của người viết sẽ được ký hiệu NV. Và một điều cuối cùng, giá trị bài viết chỉ nên dừng lại ở tham khảo và thảo luận vì bài viết này không thể tránh khỏi góc nhìn chủ quan của tác giả.

Các bài viết trong chuỗi Lượng giác 101

1. Lượng giác (Trigonometry) là gì?

Để có thể đi vào chuyên sâu của một khái niệm trước hết chúng ta phải biết rõ các khái niệm chúng ta đang bàn đến có ý nghĩa thế nào về mặt từ ngữ. Từ “lượng giác” được sử dụng trong các chương trình giáo dục của Việt Nam từ lúc bắt đầu có chương trình giáo dục phổ thông từ giữa thế kỷ XX. Đây là một từ Hán Việt ghép từ 2 khái niệm: “lượng” mang ý nghĩa về đo lường và “giác” nói về các góc, nên có thể hiểu “lượng giác” mang ý nghĩa là một phương pháp đo lường và định lượng về góc.

Nếu chỉ mang ý nghĩa như trên chúng ta không có gì để bàn ở đây, trong tiếng Anh hoặc tiếng Pháp, khái niệm “lượng giác” được tương ứng với “trigonometry”, đây là một từ xuất phát từ tiếng Hy Lạp - nền văn minh đặt nền tảng cho sự phát triển của nền văn mình phương Tây - trong đó, “trigōnon” có nghĩa là “tam giác” và “metron” mang nghĩa “đo lường”. Như thế khái niệm “lượng giác” trong tiếng Anh lại có ý nghĩa là sự đo lường về góc bằng tam giác.

Tại sao lượng giác lại là sự đo lường về góc mà lại thuộc tam giác, nếu các góc không có giá trị trong tam giác sẽ được định nghĩa thế nào, ví dụ giá trị góc ?

Bản đồ của nền văn minh Lưỡng Hà và các nền văn minh phương Tây lân cận những năm 1300 TCN. Nguồn: Worldhistory.org

2. Vì sao định nghĩa các giá trị lượng giác bằng tam giác vuông?

Tìm sin lấy đối chia huyền

Cosin hai cạnh kề huyền chia nhau,

Còn tan ta hãy tính mau

Đối trên kề dưới chia nhau ra liền,

Cotan nghịch đảo của tan

Công thức lượng giác khi cần dùng ngay.

Lời thơ ghi nhớ về Công thức Lượng giác - Khuyết danh

Chắc hẳn các bạn có sự quen thuộc với các vần thơ trên, ngay từ THCS chúng ta đã được giới thiệu đến các công thức lượng giác, tuy nhiên nếu thực sự chú ý, chúng ta có thể nhận thấy được rằng các định nghĩa trên chỉ có thể đưa ra được các giá trị lượng giác cho các góc trong miền .

Vì sao lại thế? Vì sao 1 góc cần được định lượng? Và tam giác vuông có tính chất gì đặc biệt để có thể được lựa chọn để định giá trị 1 góc?

a. Vì sao chúng ta định lượng 1 góc?

Việc đo lường một cạnh (độ dài) được những việc nhân loại nghĩ đến từ rất lâu, có thể nói việc đo độ dài là 1 trong những điều đầu tiên con người khám phá trong những ngày đầu của nền văn minh [1, 2]. Tuy nhiên, phải đến thời kì thịnh vượng của các nền văn minh ven Địa Trung Hải, nhân loại mới có những hiểu biết đầu tiên về việc định lượng góc. Việc đo góc được cho rằng bắt nguồn từ thành quốc Babylon (Lưỡng Hà) cách đây khoảng 3700 năm [1, 3, 5], một số công cụ đo góc còn có thể được thấy: như groma của Ai Cập, dioptra của Hi Lạp [3,4]

Việc định lượng góc trong lịch sử gắn liền với hoạt động quan sát thiên văn để tìm hiểu các quy luật và hiện tượng vận động của tự nhiên góp phần vào sự phát triển của nông nghiệp, chính trị, quân sự. Với người Babylon, với việc họ dùng phương pháp đếm cơ số 10, họ phát triển những khám phá của mình với hình học như: khảo sát lục giác đều, chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau,… đây là những nền móng đầu tiên của lượng giác.

Các đóng góp trong việc đo góc của người Babylon nói riêng và các nền văn minh cổ đại vẫn tồn tại đến ngày nay, hệ thống độ, cách chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau, phép đo đạc địa chính,… Không chỉ dừng lại ở việc đo góc, những nền văn minh cổ đại như Hy Lạp, Ai Cập họ đã phát hiện mối quan hệ giữa góc và độ dài.

Như vậy quay trở lại câu hỏi, vì sao phải định lượng góc? Theo ngu ý (*) của người viết đến từ việc quan sát thiên văn của những học giả từ những nền văn minh đầu tiên, họ nhận thấy có sự thay đổi nhất định của vị trí các chòm sao (như hình dưới), vậy để mô tả sự thay đổi vị trí của các chòm sao họ nên dùng phương pháp nào? Không thể dùng các đơn vị đo độ dài, vì không có cơ sở đo đạc các chòm sao (tại thời điểm đó, thời điểm mà nhân loại hình dung trái đất là trung tâm của vũ trụ - thuyết địa tâm). Họ suy nghĩ đến việc nếu xem điểm quan sát là tâm và hình dung vũ trụ một hình cầu bao quanh, thì mỗi “góc” mà chòm sao đi được là biểu thị cho sự vận động của chòm sao đó, như thế “quãng đường” mỗi ngôi sao, chòm sao sẽ có thể được đo bằng một hệ đơn vị đồng nhất (trong trường hợp của người Lưỡng Hà chính là đơn vị độ) từ đó duy trì tính nhất quán của việc quan sát.

b. Vì sao dùng tam giác vuông định nghĩa các giá trị sin, cos?

Trong bài viết trước đây về cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chúng ta đã cùng đề cập đến sự tồn tại duy nhất của đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng bất kỳ (hệ quả từ tiên đề V) trong không gian Euclide. Việc được xác định duy nhất của đường thẳng vuông góc được ứng dụng khá nhiều: đường cao tam giác là thông số định nghĩa khái niệm diện tích của tam giác; định nghĩa thể tích, định nghĩa tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác;…

  1. Tiên đề V: Qua 1 điểm chỉ có duy nhất 1 đường thẳng song song với 1 đường thẳng bất kỳ. Điều này dẫn đến 1 hệ quả đó là: Qua 1 điểm bất kỳ tồn tại duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với 1 đường thẳng bất kỳ (Bạn đọc có thể tự chứng minh)
  2. Sự đồng dạng hình học của tam giác: 2 tam giác đồng dạng ó các góc tương ứng bằng nhau, tỉ lệ các cạnh tương ứng đôi một bằng nhau (Đọc thêm SGK Toán 8 - phần Hình học). Điều này nói lên điều gì? Giữa các tam giác đồng dạng với nhau, tỉ lệ 2 cặp cạnh tương ứng luôn là một hằng số. Ví dụ ta có 3 tam giác , và đồng dạng với nhau điều này dẫn đến , với là hằng số
  3. Định lý Pythagoras trong tam giác vuông: Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương 2 cạnh góc vuông. Điều này có ý nghĩa gì? Trong các dạng tam giác không đặc biệt, để biết thông số 3 cạnh, chúng ta cần đo đạc cả 3 cạnh. Với tam giác vuông, khi chúng ta biết 2 trong 3 cạnh chúng ta có thể biết được độ dài cạnh còn lại một cách thuần nhất thông qua đẳng thức Pythagoras. Nhưng vì sao tam giác đều và tam giác cân không được sử dụng? (Đây là một câu hỏi cho các bạn đọc giải mã)

Từ những dữ kiện nêu trên, chúng ta có thể hình dung lý do mà các học giả Lưỡng Hà, Ai Cập và Hi Lạp dùng tam giác vuông để định nghĩa giá trị sin (tiếng anh sine), cosin, tang. Hãy cùng điểm nhau qua:

Về mặt lịch sử, các phép đo góc đã được sử dụng bởi người Ai Cập cổ, và được hệ thống và phát triển bởi Thales (624/623 đến 548/545 TCN) [7], và bắt đầu từ đó chúng ta có được các bước tiến đầu tiên về toán học nói chúng và hình học nói riêng. Tuy nhiên, việc định nghĩa của các giá trị lượng giác (sin, cosin) có thể được truy ngược về thời kỳ vương quốc Gupta - Ấn Độ (giữa TK III đến 543 SCN) với các đơn vị: Jyā, koti-jyā [8] (Funfact: Sine là một từ được dịch sai khi trải qua quá trình dịch từ tiếng Ấn sang tiếng Ả Rập sang tiếng Latin bởi sử gia Robert of Chester (TK XII))

Tuy nhiên, định nghĩa giá trị lượng giác của góc bằng tam giác vuông có một số hạn chế nhất định

Trong bài viết kế tiếp…

Chúng ta sẽ theo chân các nhà toán học trong quá trình phát triển và mở rộng các định nghĩa, định lý trong lĩnh vực lượng giác, và xem giữa góc và đường tròn có mối quan hệ như thế nào?

Tài liệu tham khảo

  1. Springer International Publishing AG, part of Springer Nature (2018), S. A. Treese, History and Measurement of the Base and Derived Units, https://doi.org/10.1007/978-3-319-77577-7_10
  2. Gandz, S. (1929). The Origin of Angle-Geometry. Isis,12(3), 452-481. Retrieved July 7, 2021, from http://www.jstor.org/stable/224469
  3. David A. WALLIS, History of Angle Measurement, URL: https://www.fig.net/resources/proceedings/fig_proceedings/cairo/papers/wshs_01/wshs01_02_wallis.pdf
  4. Gürsel, Ramazan & Pırtı, Atınç & Ata, Ercenk. (2020). USED THE GEODETIC MEASURING INSTRUMENTS: THE CREATION OF ROMAN CIVILIZATION.
  5. Mathematical mystery of ancient Babylonian clay tablet solved, University of New South Wales, 2017, URL: https://phys.org/news/2017-08-mathematical-mystery-ancient-babylonian-clay.html
  6. Freeth, T., Higgon, D., Dacanalis, A. et al. A Model of the Cosmos in the ancient Greek Antikythera Mechanism. Sci Rep 11, 5821 (2021). https://doi.org/10.1038/s41598-021-84310-w
  7. Lucio Russo, Silvio (translator) Levy (2013). The Forgotten Revolution: How Science Was Born in 300 BC and Why it Had to Be Reborn. p. 33. ISBN978-3642189043.
  8. Uta C. Merzbach, Carl B. Boyer (2011), A History of Mathematics, Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 3rd ed., p. 189.

Chú thích

(*) Từ “ngu ý” là một từ cổ chỉ ý kiến của cá nhân tôi (từ “ngu” để chỉ thứ thuộc về ngôi thứ nhất số ít, không mang nghĩa ngu ngốc)

Ý tưởng và trình bày: Thanh Ho

Đóng góp ý kiến

Nếu bạn cảm thấy các bài viết về toán học của ZeFro có ích cho bạn và mong muốn hỗ trợ cho trang ZeFro, hãy mua cho các thành viên ZeFro 1 ly café tại đây:

Link nội dung: https://cdspvinhlong.edu.vn/giac-trong-tam-giac-nghia-la-gi-a30478.html