.png)
Điều Kiện Để Phương Trình Bậc 3 Có 3 Nghiệm
Cách Giải Tổng Quát Để Xác Định Nghiệm Thực Của Phương Trình Bậc 3
Bước 1: Đặt phương trình tổng quát
Phương trình bậc 3 có dạng:
[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 quad (a neq 0) ]
Bước 2: Tính đạo hàm của phương trình
Tính đạo hàm bậc nhất của phương trình:
[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c ]
Bước 3: Tính phân biệt thức (Delta') của phương trình đạo hàm
Phân biệt thức của phương trình bậc 2 là:
[ Delta' = b^2 - 3ac ]
Bước 4: Xét từng trường hợp của (Delta')
- Trường hợp 1: (Delta' > 0)
- Đạo hàm bậc 2 có 2 nghiệm thực phân biệt, nghĩa là phương trình bậc 3 có hai điểm cực trị (1 cực đại và 1 cực tiểu).
- Giải phương trình ( f'(x) = 0 ) để tìm hai nghiệm ( x_1 ) và ( x_2 ).
- Tính giá trị của hàm số tại ( x_1 ) và ( x_2 ): [ f(x_1) = ax_1^3 + bx_1^2 + cx_1 + d ] [ f(x_2) = ax_2^3 + bx_2^2 + cx_2 + d ]
- Nếu ( f(x_1) ) và ( f(x_2) ) có dấu trái ngược nhau, thì phương trình bậc 3 chắc chắn có 3 nghiệm thực phân biệt.
- Trường hợp 2: (Delta' = 0)
- Đạo hàm có nghiệm kép, nghĩa là phương trình bậc 3 có một điểm cực trị.
- Phương trình có 1 nghiệm bội và 1 nghiệm thực đơn.
- Trường hợp 3: (Delta' < 0)
- Đạo hàm không có nghiệm thực, nghĩa là đồ thị của phương trình bậc 3 không có điểm cực trị.
- Khi đó, phương trình bậc 3 chỉ có 1 nghiệm thực duy nhất và 2 nghiệm phức liên hợp.
Bước 5: Kết luận
- Nếu (Delta' > 0) và dấu của hàm số tại các điểm cực trị trái ngược nhau, phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.
- Nếu (Delta' = 0), phương trình có nghiệm bội (1 nghiệm bội hai hoặc bội ba).
- Nếu (Delta' < 0), phương trình chỉ có 1 nghiệm thực và 2 nghiệm phức liên hợp.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1:
Xác định giá trị của ( m ) để hàm số sau có 3 nghiệm phân biệt:
[ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - m ]Lời giải:
Để xác định giá trị của ( m ), ta cần tính đạo hàm của hàm số:
[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 ]Để tìm điểm cực trị, giải phương trình:
[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 ]Chia phương trình cho 3:
[ x^2 - 4x + 3 = 0 ]Giải phương trình bậc 2 bằng công thức nghiệm:
[ x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = frac{4 pm sqrt{(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 3}}{2 cdot 1} = frac{4 pm sqrt{16 - 12}}{2} = frac{4 pm 2}{2} ]Kết quả sẽ là:
[ x_1 = 3 quad text{và} quad x_2 = 1 ]Ta tính giá trị của hàm số ( f(x) ) tại các điểm cực trị:
1. Tại ( x = 3 ): [ f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) - m = 27 - 54 + 27 - m = 0 - m = -m ] 2. Tại ( x = 1 ): [ f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) - m = 1 - 6 + 9 - m = 4 - m ]Để hàm số có 3 nghiệm phân biệt, giá trị ( f(3) ) và ( f(1) ) phải khác dấu:
[ (-m)(4 - m) < 0 ]Giải bất phương trình này có hai trường hợp:
-
(-m < 0) và (4 - m > 0):
- (m > 0) và (m < 4) ⇒ (0 < m < 4)
-
(-m > 0) và (4 - m < 0):
- (m < 0) và (m > 4) ⇒ Không tồn tại giá trị nào
Kết luận:
Hàm số ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - m ) có 3 nghiệm phân biệt khi:
[ 0 < m < 4 ]Ví Dụ 2:
Tìm giá trị của ( m ) sao cho phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
[ 2x^3 + 3x^2 - 12x + 2m - 1 = 0 ]Lời giải:
Đặt hàm số:
[ f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 2m - 1 ]Để hàm số có 3 nghiệm phân biệt, ta cần sử dụng điều kiện về đạo hàm.
Tính đạo hàm của hàm số ( f(x) ):
[ f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 ]Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình ( f'(x) = 0 ):
[ 6x^2 + 6x - 12 = 0 ]Chia cả phương trình cho 6:
[ x^2 + x - 2 = 0 ]Giải phương trình bậc 2 bằng công thức nghiệm:
[ x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]Áp dụng với ( a = 1, b = 1, c = -2 ):
[ x = frac{-1 pm sqrt{1^2 - 4 cdot 1 cdot (-2)}}{2 cdot 1} = frac{-1 pm sqrt{1 + 8}}{2} = frac{-1 pm 3}{2} ]Kết quả sẽ là:
[ x_1 = 1 quad text{và} quad x_2 = -2 ]Ta tính giá trị của hàm số ( f(x) ) tại các điểm cực trị:
1. Tại ( x = 1 ): [ f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 2m - 1 = 2 + 3 - 12 + 2m - 1 = 2m - 8 ] 2. Tại ( x = -2 ): [ f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) + 2m - 1 = 2(-8) + 3(4) + 24 + 2m - 1 = -16 + 12 + 24 + 2m - 1 = 2m + 19 ]Để hàm số có 3 nghiệm phân biệt, hai giá trị ( f(1) ) và ( f(-2) ) phải khác dấu:
[ (2m - 8)(2m + 19) < 0 ]Giải bất phương trình:
Để giải bất phương trình ( (2m - 8)(2m + 19) < 0 ), ta tìm các nghiệm của:
1. ( 2m - 8 = 0 ) ⇒ ( m = 4 ) 2. ( 2m + 19 = 0 ) ⇒ ( m = -frac{19}{2} )Các điểm phân chia là ( m = -frac{19}{2} ) và ( m = 4 ). Ta kiểm tra dấu của các khoảng:
- Khi ( m < -frac{19}{2} ), cả hai nhân đều âm, tích dương.
- Khi ( -frac{19}{2} < m < 4 ), một nhân dương một nhân âm, tích âm.
- Khi ( m > 4 ), cả hai nhân đều dương, tích dương.
Kết luận:
Hàm số ( 2x^3 + 3x^2 - 12x + 2m - 1 = 0 ) có 3 nghiệm phân biệt khi:
[ -frac{19}{2} < m < 4 ]Ví Dụ 3:
Tìm các giá trị của ( m ) để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
[ x^3 + x^2 - (m + 2)x + m = 0 ]Lời giải:
Đặt hàm số:
[ f(x) = x^3 + x^2 - (m + 2)x + m ]Để hàm số có ba nghiệm phân biệt, ta cần tính đạo hàm của hàm số:
[ f'(x) = 3x^2 + 2x - (m + 2) ]Để tìm điểm cực trị, giải phương trình:
[ 3x^2 + 2x - (m + 2) = 0 ]Áp dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc 2:
[ x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = frac{-2 pm sqrt{(2)^2 - 4 cdot 3 cdot (- (m + 2))}}{2 cdot 3} = frac{-2 pm sqrt{4 + 12(m + 2)}}{6} ]Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần là:
[ b^2 - 4ac > 0 ] Tức là: [ 4 + 12(m + 2) > 0 ] [ 12(m + 2) > -4 ] [ m + 2 > -frac{1}{3} ] [ m > -frac{7}{3} ]Tiếp theo, ta tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị để kiểm tra điều kiện tồn tại 3 nghiệm phân biệt:
Đặt các điểm cực trị:
[ x_1 = frac{-2 + sqrt{4 + 12(m + 2)}}{6}, quad x_2 = frac{-2 - sqrt{4 + 12(m + 2)}}{6} ]Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị:
[ f(x_1) = x_1^3 + x_1^2 - (m + 2)x_1 + m ] [ f(x_2) = x_2^3 + x_2^2 - (m + 2)x_2 + m ]Để hàm số có 3 nghiệm phân biệt, hai giá trị ( f(x_1) ) và ( f(x_2) ) phải khác dấu:
[ f(x_1) cdot f(x_2) < 0 ]Để kiểm tra sự tồn tại nghiệm, cần xác định điều kiện:
[ (m + 2)^2 - 4m > 0 ] [ m^2 - 4m + 4 > 0 ]Điều kiện này sẽ cho chúng ta:
[ (m - 2)^2 > 0 ]Giải bất phương trình trên:
[ m neq 2 ]Kết luận:
Hàm số ( x^3 + x^2 - (m + 2)x + m = 0 ) có 3 nghiệm phân biệt khi:
[ m > -frac{7}{3} quad text{và} quad m neq 2 ]
