Tao nhớ hồi mới học Giải tích, mình dùng trực giác để định nghĩa tích phân Riemann. Mình dựng các khoảng và chứng minh rằng khi các khoảng này càng nhỏ dần, thì nó có thể được dùng để tính diện tích dưới đường cong. Lúc đó, định nghĩa vi phân (ký hiệu "dx") trong tích phân của mình khá là mập mờ. Thỉnh thoảng phép màu xảy ra và mình bắt đầu di chuyển "dx" bằng phương pháp thế u hoặc bắt đầu chia chúng để thu được phương trình vi phân. Điều này làm mình rất bối rối hồi còn là sinh viên đại học.
Sau này mình bắt đầu tìm hiểu Giải tích thực sự. Những cuốn sách như "Nguyên lý Giải tích toán học" của Rudin tiếp cận tích phân như một Tích phân Darboux, tức là chứng minh rằng giới hạn của tích phân cận trên và cận dưới tồn tại và phải hội tụ về cùng một giá trị để định nghĩa tích phân Riemann. Điều này hợp lý với mình vì tích phân giờ đây liên hệ nhiều hơn với giới hạn: cũng như giới hạn cần được định nghĩa khi tiếp cận từ trái và phải của một điểm trong hàm số, diện tích dưới đường cong cũng phải bị giới hạn ở một giá trị nhất định khi tiếp cận từ cả hai vùng bị chặn trên và dưới.
Về cơ bản, cả hai cách tiếp cận đều có cùng cấu trúc và trực giác: diện tích của đường cong có thể được xấp xỉ bằng các hình vuông. Nhưng bằng cách nào đó, cách tiếp cận vấn đề của Tích phân Darboux làm lộ ra nhiều tính chất hơn của tổng Riemann, làm rõ hơn các điều kiện của "tổng trên vi phân".
Mình đang tự hỏi liệu có cách nào tốt hơn nữa để định nghĩa tích phân Riemann một cách chặt chẽ không? Tích phân Darboux đã giúp giải quyết vấn đề nhưng giờ mình đang bắt đầu tìm hiểu về tích phân Riemann-Stieltjes và giờ mình đang bắt đầu với các ký hiệu như "dF(x)". Định nghĩa và cấu trúc của tích phân Riemann-Stieltjes hợp lý với mình vì nó là một mở rộng tự nhiên của Tích phân Darboux, tuy nhiên, ký hiệu "dF(x)" thì không. Tại sao ký hiệu này lại tồn tại và nó được định nghĩa như thế nào ngoài việc thêm nó vào cuối tích phân như một loại "syntactic sugar"? Mình có thể làm gì với nó không?
Thân chào từ một người mới bắt đầu học xác suất chặt chẽ.
